Zariski di cư sang Mỹ vào năm 1927 do Solomon Lefschetz ủng hộ. Ông đã có một vị trí tại Đại học Johns Hopkins nơi ông trở thành giáo sư vào năm 1937. Trong thời gian này, ông đã viết Algebraic Surfaces như là một tổng kết về công việc của trường học Ý. Cuốn sách được xuất bản vào năm 1935 và được phát hành lại sau 36 năm, với những ghi chép chi tiết của các sinh viên của Zariski đã minh họa cách trường hình học đại số đã thay đổi. Nó vẫn là một tham chiếu quan trọng.

Có vẻ như nghiên cứu đã đặt dấu ấn của sự bất mãn của Zariski với cách tiếp cận của người Ý đối với hình học song hữu tỉ. Ông giải quyết các câu hỏi nghiêm khắc bằng cách trông cậy vào đại số giao hoán. Tô pô Zariski,như nó đã được biết sau, là đủ cho hình học song chính quy, nơi các giống được ánh xạ bởi các hàm đa thức. Lý thuyết đó là quá giới hạn cho các bề mặt đại số, và thậm chí cho các đường cong với các điểm số ít. Một bản đồ hợp lý là một bản đồ thông thường như hàm phân thức là một đa thức: nó có thể không xác định tại một số điểm. ITrong thuật ngữ hình học, người ta phải làm việc với các hàm được định nghĩa trên một số tập hợp mở, tập trù mật của một giống đã cho. Mô tả về hành vi trên phần bổ sung có thể yêu cầu điểm gần vô hạn được giới thiệu vào tài khoản để hạn chế hành vi theo các hướng khác nhau. Điều này giới thiệu một nhu cầu, trong trường hợp bề mặt, sử dụng lý thuyết định giá để mô tả các hiện tượng như thổi lên (bóng kiểu, chứ không phải là nổ).